MATEMATIKA

Matematika 

A. Sifat-Sifat Pengerjaan Hitung pada
Bilangan Bulat

Sifat-sifat pengerjaan hitung pada bilangan bulat yang akan dipelajari sifat komutatif, asosiatif, dan distributif. Mungkin kamu pernah menggunakan sifat-sifat tersebut, tetapi belum tahu nama sifat-sifatnya. Sebenarnya seperti apa sifat-sifat itu?
Coba perhatikan penjelasan berikut.

1.Sifat Komutatif (Pertukaran)

a.Sifat komutatif pada penjumlahan
Andi mempunyai 5 kelereng berwarna merah dan 3
kelereng berwarna hitam. Budi mempunyai 3 kelereng berwarna merah dan 5 kelereng berwarna hitam. Samakah jumlah kelereng yang dimiliki Andi dan Budi?


Perhatikan gambar.
Ternyata jumlah kelereng Andi sama dengan jumlah kelereng Budi.
Jadi, 5 + 3 = 3 + 5.
Cara penjumlahan seperti ini menggunakan sifat komutatif.
Secara umum, sifat komutatif pada penjumlahan dapat ditulis sebagai berikut.

a + b = b + a

dengan a dan b sembarang bilangan bulat.

b. Sifat komutatif pada perkalian
Jumlah kelereng Andi dan Budi sama, yaitu 8 butir. Kelereng Andi dimasukkan ke empat kantong plastik. Setiap kantong berisi 2 butir.
Kelereng Budi dimasukkan ke dua kantong plastik. Setiap kantong berisi 4 butir.
Kelereng Andi dan Budi dapat ditulis sebagai berikut. Kelereng Andi = 2 + 2 + 2 + 2
= 4 × 2 = 8
Kelereng Budi = 4 + 4
= 2 × 4 = 8
Jadi, 4 × 2 = 2 × 4.
Cara perkalian seperti ini menggunakan sifat komutatif pada perkalian.
Secara umum, sifat komutatif pada perkalian dapat ditulis:

a × b = b × a

dengan a dan b sembarang bilangan bulat.

2. Sifat Asosiatif (Pengelompokan)

a. Sifat asosiatif pada penjumlahan
Andi mempunyai 2 kotak berisi kelereng. Kotak I
berisi 3 kelereng merah dan 2 kelereng hitam. Kotak
II berisi 4 kelereng putih. Budi juga mempunyai 2 kotak berisi kelereng. Kotak I berisi 3 kelereng merah. Kotak II berisi 2 kelereng hitam dan 4 kelereng putih.
Samakah jumlah kelereng yang dimiliki Andi dan
Budi?


Perhatikan gambar.
Ternyata jumlah kelereng yang dimiliki Andi sama dengan jumlah kelereng yang dimiliki Budi.
Jadi, (3 + 2) + 4 = 3 + (2 + 4).
Cara penjumlahan seperti ini menggunakan sifat asosiatif pada penjumlahan.
Secara umum, sifat asosiatif pada penjumlahan dapat ditulis:

(a + b) + c = a + (b + c)

dengan a, b, dan c sembarang bilangan bulat.

b. Sifat asosiatif pada perkalian
Andi mempunyai 2 kotak mainan. Setiap kotak diisi
3 bungkus kelereng. Setiap bungkus berisi
4 butir kelereng. Berapa jumlah kelereng Andi?
Ada dua cara yang dapat digunakan untuk menghitung jumlah kelereng Andi.
Cara pertama menghitung banyak bungkus. Kemudian, hasilnya dikalikan banyak kelereng tiap bungkus.
Banyak bungkus × banyak kelereng tiap bungkus
= (3 bungkus + 3 bungkus) × 4 butir
= (3 + 3) × 4
= (2 × 3) × 4 = 24 butir
Cara kedua menghitung banyak kelereng setiap kotaknya dahulu kemudian hasilnya dikalikan banyak kotak.
Banyak kotak × banyak kelereng
= 2 × (4 + 4 + 4)
= 2 × (3 × 4) = 24 butir
Perhitungan cara I: (2 × 3) × 4. Perhitungan cara II: 2 × (3 × 4).
Hasil perhitungan dengan kedua cara adalah sama. Jadi, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4).
Cara perkalian seperti ini menggunakan sifat asosiatif pada perkalian.
Secara umum, sifat asosiatif pada perkalian dapat ditulis:

(a × b) × c = a × (b × c)

dengan a, b, dan c bilangan bulat.



c. Sifat Distributif (Penyebaran)


a. (3 × 4) + (3 × 6) = 3 × (4 + 6)

Angka pengali disatukan

3 × 4 dan 3 × 6
mempunyai angka pengali yang sama, yaitu 3

yang menggunakan sifat distributif.
Benarkah bahwa (5 × 13)
– (5 × 3) = 5 × (13 – 3)?

Penghitungan dilakukan dengan cara menjumlah kedua angka yang dikalikan (4 + 6). Kemudian hasilnya dikalikan dengan angka pengali (3).
3 × (4 + 6) = 3 × 10 = 30. Mengapa cara ini digunakan.
Karena menghitung 3 × (4 + 6) = 3 × 10 lebih mudah daripada menghitung (3 × 4) + (3 × 6).

(5 × 13) – (5 × 3) mempunyai angka pengali yang sama, yaitu 5.
Angka pengali disatukan menjadi 5 × (13 – 3). Diperoleh:
(5 × 13) – (5 × 3) = 5 × (13 – 3) Contoh di atas merupakan pengurangan dengan sifat distributif.


b.15 × (10 + 2) = (15 × 10) + (15 × 2)


Angka pengali dipisahkan


15 × (10 + 2) mempunyai angka pengali 15

Penghitungan dilakukan dengan cara kedua angka
yang dijumlah (10 dan 2) masing-masing dikalikan dengan angka pengali (15), kemudian hasilnya dijumlahkan.
15 × (10 + 2) = (15 × 10) + (15 × 2)
= 150 + 30
= 180

Cara ini juga untuk mempermudah penghitungan karena menghitung (15 × 10) + (15 × 2) = 150 + 30 lebih mudah daripada menghitung 15 × (10 + 2)
= 15 × 12.

Cara penghitungan seperti di atas menggunakan sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan. Secara umum, sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan dapat ditulis:

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
a × (b – c) = (a × b) – (a × c)

dengan a, b, dan c bilangan bulat

4. Menggunakan Sifat Komutatif, Asosiatif,
dan Distributif
Sifat komutatif, asosiatif, dan distributif dapat digunakan untuk memudahkan perhitungan.
Perhatikan contoh berikut.
1. Menghitung 5 × 3 × 6
Cara 1:

5 × 3 × 6 = 5 × 6 × 3

= (5 × 6) × 3
= 30 × 3
= 90

Menggunakan sifat komutatif, yaitu menukar letak angka 3 dengan 6.

Menggunakan sifat asosiatif, yaitu mengalikan 5
dengan 6 terlebih dahulu agar mudah menghitungnya.

Cara 2:
5 × 3 × 6 = 3 × 5 × 6

= 3 × (5 × 6)
= 3 × 30
= 90

2.Menghitung 8 × 45

Menggunakan sifat komutatif, yaitu menukar letak angka 3 dengan 5.

Menggunakan sifat asosiatif, yaitu mengalikan 5
dengan 6 terlebih dahulu agar mudah menghitungnya.

Cara 1: menggunakan sifat distributif pada penjumlahan
8 × 45 = 8 × (40 + 5)
= (8 × 40) + (8 × 5)
= 320 + 40
= 360
Cara 2: menggunakan sifat distributif pada pengurangan
8 × 45 = 8 × (50 – 5)
= (8 × 50) – (8 × 5)
= 400 – 40
= 360


B. Menaksir Hasil Pengerjaan Hitung
Dua Bilangan

1.MenaksirHasilPenjumlahandanPengurangan

Menaksir hasil penjumlahan atau pengurangan dua bilangan berarti memperkirakan hasil penjumlahan atau pengurangan dari kedua bilangan tersebut. Caranya dengan membulatkan kedua bilangan kemudian hasil pembulatan tersebut dijumlahkan atau dikurangkan. Perhatikan contoh berikut.
a. Tentukan taksiran ke puluhan terdekat dari 53 + 79
Langkah pertama, bulatkan setiap bilangan ke puluhan terdekat. Caranya sebagai berikut. Perhatikan angka satuannya. Jika satuannya kurang dari 5 dibulatkan ke nol. Jika satuannya lebih atau sama dengan 5 dibulatkan ke 10.
5 3 50 + 0 = 50
kurang dari 5
dibulatkan menjadi 0

Berarti 53 dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 50.
7 9 70 + 10 = 80
lebih dari 5
dibulatkan menjadi 10


Di kelas IV kamu sudah belajar membulatkan bilangan.
Pada pembulatan ke satuan terdekat.
Angka persepuluhan (desimal) kurang dari 0,5 dibulatkan ke nol. Sedangkan angka per- sepuluhan (desimal) lebih atau sama dengan 0,5 di- bulatkan ke satu.

29, 4 29 + 0 = 29
kurang dari 5
dibulatkan menjadi 0

23, 7 23 + 1 = 24
lebih dari 5
dibulatkan menjadi 1
Angka 53 lebih dekat ke 50
daripada ke 60.
Berarti 53 dibulatkan menjadi
50.
Angka 79 lebih dekat ke 80
daripada ke 70.
Berarti 79 dibulatkan menjadi
80.

Berarti 79 dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 80. Langkah kedua, jumlahkan hasil pembulatan dari kedua bilangan.
50 + 80 = 130
Jadi, taksiran ke puluhan terdekat dari 53 + 79 adalah
130.
Ditulis 53 + 79 = 130.

dibaca kira-kira, merupa- kan tanda yang menyatakan hasil perkiraan dari proses penghitungan.

b. Tentukan taksiran ke ratusan terdekat dari 599 – 222
Langkah pertama, bulatkan setiap bilangan ke ratusan terdekat.
Perhatikan angka puluhannya. Jika puluhannya kurang dari 50 dibulatkan ke nol. Jika puluhannya lebih dari 50 dibulatkan ke 100.

599

500 + 100 = 600

Angka 99 lebih dari 50 maka
99 dibulatkan menjadi 100.


dibulatkan menjadi

Angka 22 kurang dari 50 maka
22 dibulatkan menjadi 0.

222

200 + 0 = 200

dibulatkan menjadi
Langkah kedua, kurangkan hasil pembulatan dari kedua bilangan 600 – 200 = 400.
Jadi, taksiran ke ratusan terdekat dari 599 – 222
adalah 400.
Ditulis 599 – 222 = 400.


Menaksir Hasil Kali dan Hasil Bagi
Cara menaksir hasil kali atau hasil bagi dua bilangan yaitu dengan membulatkan kedua bilangan kemudian hasil pembulatan dari kedua bilangan tersebut dikali atau dibagi.


Banyak kelompok yang ikut gerak jalan 18 tim. Setiap tim beranggotakan
21 anak.


Berapa kira-kira jumlah anak yang ikut gerak jalan?

Lambang taksiran yaitu ?. Misalnya 21 × 29 = 20 × 30
= 600
Dibaca dua puluh satu kali dua puluh sembilan kira-kira enam ratus.

10 Bilangan Bulat

Angka 8 lebih dari 5. Angka 8 dibulatkan ke 10.
Jadi, angka 18 dibulatkan ke

Banyak tim = 18

dibulatkan 20.

puluhan terdekat menjadi 20. Angka kurang dari 5.

Banyaknya anggota setiap tim = 21

dibulatkan 20.

Angka 1 dibulatkan ke 0.

Taksiran jumlah siswa = 20 × 20 = 400.
Jadi, jumlah anak yang ikut gerak jalan kira-kira ada 400.

Apabila hasil perkaliannya dibulatkan, diperoleh hasil berikut.
18 × 21 = 378 (hasil sebenarnya) Pembulatan ke puluhan terdekat:
378 = 370 + 10 = 380
dibulatkan menjadi

Jadi, angka 21 dibulatkan ke
puluhan terdekat menjadi 20.

Angka 8 lebih dari 5.
Angka 8 dibulatkan menjadi
10.

378 dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 380. Jadi, 18 × 21 = 380.
Pembulatan ke ratusan terdekat:
378 = 300 + 100 = 400
dibulatkan menjadi

Angka 78 lebih dari 50. Angka 78 dibulatkan menjadi
100.

378 dibulatkan ke ratusan terdekat menjadi 400. Jadi, 18 × 21 = 400.

Apabila panitia menyediakan minuman sebanyak 576 botol untuk peserta gerak jalan, kira-kira berapa botol minuman yang didapatkan setiap tim?
Permasalahan di atas diselesaikan dengan menaksir. Begini penyelesaiannya.
Banyak minuman yang didapatkan setiap tim:
576 : 18

576 = 500 + 100 = 600
dibulatkan menjadi

576 : 18 = 600 : 20
= 30


18 = 10 + 10 = 20

dibulatkan menjadi

Diperoleh 600 : 20 = 30.
Jadi, banyak minuman yang didapatkan setiap tim kira- kira 30 botol.

Secara umum, cara menaksir hasil kali dan hasil bagi sebagai berikut.
1. Bulatkan bilangan-bilangan yang dioperasikan.
2. Kalikan atau bagilah bilangan-bilangan yang dibulatkan itu.

I.      Bilangan Bulat

Beberapa ratus tahun yang lalu Phytagoras mengatakan:

“Untuk menguasai alam semesta, kuasailah bilangan.”

Mengapa? Karena seluruh jagat raya ini dibangun dengan angka dan bilangan!

Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat positip, bilangan bulat negatif, dan nol. Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan B, dimana B = {…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Operasi pada bilangan bulat

1.    Penjumlahan

Pada sembarang bilangan bulat
a, b, dan c berlaku sifat-sifat penjumlahan :

a)    Komutatif, a + b = b + a

b)    Asosiatif;   (a + b) + c = a + (b + c)

c)    Tertutup;   (a + b) Є bilangan bulat

d)    Unsur identitas;  a + 0 = 0 + a = a

2.    Pengurangan

Pada sembarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku sifat-sifat pengurangan :

a)    Mengurangkan dengan suatu bilangan sama artinya menambahkan dengan lawan pengurangnya

Contoh :   a – b = b + (-a)

                  (-a) adalah lawan dari a

b)    Tertutup; (a – b) Є bilangan bulat

3.    Perkalian

Sifat-sifat perkalian yang berlaku jika a, b, dan c merupakan bilangan bulat adalah sebagai berikut :

a)    Komutatif;            a x b = b x a

b)    Asosiatif;              (a x b) x c = a x (b x c)

c)    Tertutup;              (a x b) Є bilangan bulat

d)    Unsur identitas   ;  a x 1 = 1 x a = a

e)    Perkalian dengan 0;  p x 0 = o x p = 0

f)     Distributif ;           a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

a x (b – c) = (a x b) – (a x c)

4.    Pembagian

Sifat-sifat pembagian yang berlaku jika a, b, dan c merupakan bilangan bulat adalah sebagai berikut :

Pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalian

            a : b = c ↔  b x c = a

Bilangan bulat berpangkat bilangan bulat

“pangkat  ‘n’ dari suatu bilangan bulat dengan ‘n’ adalah bilangan bulat di definisikan sebagai perkalian bilangan tersebut ebanyak ‘n’  kali”

II.     Bilangan Pecahan

Pecahan adalah salah satu materi yang sangat tidak disukai siswa. Materi pecahan ini dianggap sulit sehingga hasil pembelajarannya seringkali kurang memuaskan. Untuk itu diperlukan terobosan agar proses pembelajaran pecahan menjadi menarik bagi siswa.

           

Operasi hitung pada pecahan

1.    Penjumlahan dan pengurangan  

Penjumlahan dan pengurangan dua pecahan atau lebih dapat dilakukan jika penyebut dari pecahan tersebut sama. Jika penyebutnya tidak sama maka penyebut-penyebut tersebut harus disamakan terlebih dahulu dengan menggunakan KPK dari penyebut-penyebutnya.

Karena penyebut dari kedua pecahan tersebut tidak sama, yaitu 6 dan 12 maka kita samakan terlebih dahulu dengan. KPK dari 6 dan 12 adalah 12, sehingga    

Sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan yang berlaku jika a, b, c, d, e, dan fmerupakan sembarang bilangan bulat adalah :

 

 Perkalian dan pembagian                   

Perkalian pada pecahan dilakukan dengan cara mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.

Sifat-sifat yang berlaku pada perkalian pecahan jika a, b, c, d, e, dan f adalah sembarang bilangan bulat adalah:

Secara umum pembagian pada pecahan dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut :

           

Contoh Soal-soal

1.     Uang simpanan Ghulam 4 kali lebih banyak dari uang simpanan Asri. Jika jumlah uang simpanan mereka Rp. 120.000,00 maka berapakah uang simpanan Asri?

  

 

              

2.  Perbandingan jumlah buah apel Leni : buah apel Bibah adalah 3 : 2 sedangkan perbandingan buah apel Bibah : buah apel Siti adalah 4 : 5. Jika jumlah buah apel mereka semuanya adalah 45 buah, maka berapakah buah apel yang dimiliki Siti?

Jawab :

 

     

    

Perbandingan apel Leni : apel Bibah      = 3 : 2

sedangkan apel Bibah : apel Siti              =      4 : 5

Jadi perbandingan buah apel mereka adalah = 6 : 4 : 5

Dan jumlah perbandingan mereka adalah = 6 + 4 + 5 = 15

BAB BANGUN RUANG

A. Kubus

Kubus adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh 6 persegi yang sama panjang.

--> 

Unsur-unsur kubus :

·        Memiliki 6 sisi kubus yang berbentuk persegi

·        Memiliki 12 rusuk yang sama panjang

·        Memiliki 8 titik sudut

·        Memiliki 12 diagonal sisi, contoh = AC, BD, EG

·        Memiliki 4 diagonal ruang, contoh = AG, CE, DF

·        Memiliki 6 bidang diagonal, contoh = ABGH, DCFE

--> 

Sifat–sifat kubus :

·        Semua sisi kubus berbentuk persegi dan memiliki luas yang sama

·        Semua rusuk kubus berukuran sama panjang

·        Setiap diagonal bidang pada kubus memiliki ukuran yang sama panjang

·        Setiap diagonal bidang pada kubus memiliki ukuran yang sama panjang

·        Setiap diagonal bidang pada kubus memiliki ukuran yang sama panjang

--> 

Gambar jaring-jaring kubus :

--> 

B. Balok

Balok adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh 6 persegi panjang.

Unsur-unsur balok :

·        Memiliki 6 sisi balok yang berbentuk persegi

·        Memiliki 12 rusuk yang sama panjang

·        Memiliki 8 titik sudut

·        Memiliki 12 diagonal sisi

·        Memiliki 4 diagonal ruang

·        Memiliki 6 bidang diagonal

  --> 

C. Prisma

Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua bangun datar segi banyak yang kongruen dan sejajar, serta dibatasi sisi tegak yang berupa persegi panjang atau jajargenjang.

Prisma diberi nama berdasarkan bentuk seginya pada bidang alas atau bidang atas, contoh : Prisma segiempat, karena bidang alas dan atas berbentuk segiempat.

Istilah prisma tegak adalah rusuk-rusuk pada prisma tegak lurus terhadap bidang alas maupun bidang atasnya.

Unsur-unsur prisma :

·        Memiliki titik sudut

·        Memiliki rusuk

·        Memiliki sisi, meliputi = bidang alas, bidang atas, bidang sisi tegak

·        Memiliki diagonal bidang

·        Memiliki diagonal ruang

--> 

D. Limas

Limas adalah bangun ruang yang diabatasi bidang alas dan bidang sisi-sisi tegak berupa segitiga yang bertemu pada satu titik.

Unsur-unsur limas :

·        Memiliki daerah segi banyak / alas

·        Memiliki daerah segitiga / sisi tegak

·        Memiliki titik puncak

·        Memiliki rusuk tegak

·        Memiliki jarak dari bidang alas ke puncak limas / tinggi

RUMUS - RUMUS BANGUN RUANG: